دستگاه مختصات

دانلود این مطلب

مقدمه

خط حقیقی: برای نمایش اعداد حقیقی از یک دستگاه مختصات بنام خط حقیقی یا محور x استفاده می‌کنیم. عدد حقیقی نظیر یک نقطه روی خط حقیقی مختص آن نقطه نامیده می‌شود. همان طور که می‌دانیم نقطه‌ای از خط حقیقی که نظیر صفر است مبدأ نامیده می‌شود و اعدادی که در سمت راست مبدأ واقع می‌شوند طبق قرارداد اعداد مثبت و اعدادی که در سمت چپ مبدأ قرار دارند به عنوان اعداد منفی معرفی شده‌اند. هر نقطه روی خط حقیقی نظیر یک و تنها یک عدد حقیقی است. این نوع رابطه را تناظر یک به یک می‌نامند.

صفحه دکارتی

همانطور که اعداد حقیقی را می‌توان با نقاط روی خط حقیقی نشان داد، جفتهای مرتب اعداد حقیقی را می‌توان با نقاط روی یک صفحه نمایش داد. جفت مرتب (x,y) از اعداد حقیقی دارای عضو اول x و عضو دوم y است. مدل نمایش جفتهای مرتب را دستگاه مختصات قائم یا صفحه دکارتی می‌نامند. این مدل عبارت است از دو خط حقیقی که در زوایای قائم متقاطع می‌باشند. خط حقیقی افقی را معمولا محور x و خط حقیقی قائم را محور y می‌نامند. نقطه اشتراکشان مبدأ نام دارد. همانطور که گفتیم صفحه مختصات دکارتی از متقاطع شدن دو محور حقیقی با یکدیگر در نقطه‌ای به نام مبدأ حاصل می‌گردد. این تقاطع صفحه را به دو قسمت تقسیم می‌کند که به هر یک از این قسمتها یک ربع گفته می‌شود. بنابراین توسط دستگاه مختصات دکارتی ما می‌توانیم یک صفحه را به چهار ربع تقسیم کنیم.

مختصات یک نقطه

در صفحه دکارتی نقاط از دو مؤلفه به نامهای x , y تشکیل یافته‌اند که با یکدیگر تشکیل جفتهای مرتب را می‌دهند مانند (x و y) در واقع جفتهای مرتب (x و y) مختصات یک نقطه در صفحه دکارتی می‌باشند. عدد x فاصله جهت دار از محور y تا نقطه و y فاصله جهت دار از محور x تا نقطه می‌باشند.

در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حساب‌ها و اعداد هندسی در سه بعد با استفاده از سه مختصه است: فاصلهٔ‌ شعاعی یک نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویهٔ سمت‌الرأس (zenith angle) از قسمت مثبت محور z و زاویهٔ گرایی (azimuth angle) از قسمت مثبت محور x.

مشخصات

دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصه‌است:

مختصه ρ (یا r) که روی کره‌های هم مرکز حول مبدا است.

مختصه θ روی مخروط‌های دوار قائم حول محور z با راس واقع در مبدا.

مختصه φ که روی نیم صفحاتی که از محور قطبی z می‌گذرد.

در فیزیک بنا به سنت جای θ و φ معکوس است یعنی θ زاویه با محور z است.

حساب برداری

بردار A در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

گرادیان تابع اسکالر f به صورت زیر است:

واگرایی بردار A:

کرل بردار A در دستگاه کروی:

عملگر لاپلاسی بر روی بردار f در مختصات کروی:

تبدیل‌های دستگاه مختصات

دستگاه مختصات جغرافیایی

دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفاده‌هایی دارد. در جغرافی، ρ معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان می‌دهد جایگزین می‌شود.

عرض جغرافيايى ، مکمل سمت‌الرأس یا متمم عرض جغرافيايى است و می‌تواند با این روابط تبدیل شود:

با این وجود عرض جغرافيايى عمدتاً با φ نیز نمایش داده می‌شود. این، یک زاویه سمت‌الرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه می‌گیرد با دامنهٔ ‎ -90° ≤ φ ≤ 90° ‏ بیان می‌کند. طول جغرافيايى به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از 0° اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین دامنه‌اش ‎ -180° ≤ θ ≤ 180° ‏ است.

دیفرانسیل‌ها

دیفرانسیل خطی:

دیفرانسیل سطحی:

دیفرانسیل حجمی:

مختصات استوانه‌ای نوعی مختصات متعامد است که در آن یک نقطه، در فضا بر روی قاعدهٔ یک استوانه در نظر گرفته می‌شود. مکان آن نقطه بر اساس شعاع و ارتفاع استوانه (r و z) و زاویه‌ای که شعاع قاعده گذرنده از آن نقطه با محور x می‌سازد (θ)، بیان می‌شود. این دستگاه، در حالت دوبعدی، با حذف مختص z به مختصات قطبی تبدیل می‌شود. در فیزیک و به ویژه در الکترومغناطیس (رشتهٔ مخابرات) به جای r ،θ ،z به ترتیب از حروف ρ ،φ ،z استفاده می‌شود